જેના અક્ષો યામ અક્ષો હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જેની નાભિલંબની લંબાઈ $4$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ છે.

ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{25}=1$ છે. તો, $(0, \sqrt{2})$ કેન્દ્ર ધરાવતા અને ઉપવલયના નાભિઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શક $y = \frac{-3}{4}x + 3\sqrt{2}$ પર નાભિઓમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $9$ હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ પર,રેખા $2x - 3y + 25 = 0$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ $M$ કયું છે?

જેનું લેટસ રેક્ટમ (નાભિલંબ) $8$ છે અને જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ,મુખ્ય અક્ષોના સંદર્ભમાં,શોધો.

ધારો કે $A_1$ એ આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું ક્ષેત્રફળ છે. ધારો કે $A_2$ એ ઉપવલયના નાભિ અને ઉપવલય પરના બિંદુ $P$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના બિંદુપથ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે,તો $A_1 : A_2$ =